问答题
设随机变量X与Y独立，X服从参数为0.6的0-1分布，Y服从参数λ=1的指数分布，令U=X+Y，试求：
(Ⅰ)U的分布函数F(u)与概率密度f(u)；
(Ⅱ)U与U2的协方差cov(U，U2)．
【正确答案】[解] (Ⅰ)依题意X的概率分布为[*]Y的分布函数FY(y)为
[*]
于是 F(u)=P{U≤u}=P{X+Y≤u}
=P{X=0}P{X+Y≤u|X=0}+P{X=1}P{X+Y≤u|X=1}
=0.4P{Y≤u}X=0}+0.6P{Y≤u-1}X=1}．
由于X与Y独立，于是
P{Y≤u|X=0}=P{Y≤u}=FY(u)，
P|Y≤u-1|X=1}=P{Y≤u-1}=FY(u-1)．
F(u)=0.4FY(u)+0.6FY(u-1)
[*]
故[*]
(Ⅱ)依题意，EX=0.6，DX=0.24，EY=1，DY=1，
EU=E(X+Y)=EX+EY=0.6+1=1.6．
因X，Y独立，则D(X+Y)=DX+DY．于是
DU=D(X+Y)=DX+DY=0.24+1=1.24，
EU2=DU+(EU)2=1.24+1.62=3.8．
又[*]
故 cov(U，U2)=EU3-EUEU2=12-1.6×3.8=5.92．
【答案解析】[解析] [*]