解答题
2.设矩阵A=
【正确答案】A的特征多项式为
=(λ一2)(λ2一 8λ+18+3a)．
(1)若λ=2是f(λ)的二重根，则有(λ2—8λ+18+3a)|λ=2=22一16+18+3a=3a+6=0，解得a=一2．
当a=一2时，A的特征值为2，2，6，矩阵2E一A=
的秩为1，故对应于二重特征值2的线性无关特征向量有两个，从而A可相似对角化．
(2)若λ=2不是r(A)的二重根，则λ2一 8λ+18+3a为完全平方，从而18+3a=16，解得a=
当a=
时，A的特征值为2，4，4，矩阵
=(λ一2)(λ2一 8λ+18+3a)．
(1)若λ=2是f(λ)的二重根，则有(λ2—8λ+18+3a)|λ=2=22一16+18+3a=3a+6=0，解得a=一2．
当a=一2时，A的特征值为2，2，6，矩阵2E一A=
的秩为1，故对应于二重特征值2的线性无关特征向量有两个，从而A可相似对角化．(2)若λ=2不是r(A)的二重根，则λ2一 8λ+18+3a为完全平方，从而18+3a=16，解得a=
当a=
时，A的特征值为2，4，4，矩阵【答案解析】