问答题
计算
【正确答案】正确答案：方法一 把D
n
按第一行展开，得
把递推公式①改写成 D
n
一αD
n-1
=β(D
n-1
一αD
n-2
)， ② 继续用递推关系②递推，得 D
n
一αD
n-1
=β(D
n-1
-aD
n-2
)=β
2
(D
n-2
-αD
n-3
)=…=β
n-2
(D
2
-αD
1
)， 而 D
2
=(α+β)
2
一αβ，D
1
=α+β， D
n
一αD
n-1
=β
n-2
(D
2
-αD
1
)=β
n
， ③ ③式递推得 D
n
=αD
n-1
+β
n
=α(αD
n-2
+β
n-1
)+β
n
=…=α
n
+α
n-1
β+α
n-2
β
2
+…+αβ
n-1
+β
n
． 除了将①式变形得②式外，还可将①式改写成 D
n
一βD
n-1
=α(D
n-1
一β
n-2
)， ④ 由④式递推可得 D
n
一βD
n-1
=α
n
， ⑤ ③×β一⑤×α得 (β一α)D
n
=β
n+1
-α
n+1
， 当β一α≠0时，有
方法二 把原行列式表示成如下形式
把递推公式①改写成 D
n
一αD
n-1
=β(D
n-1
一αD
n-2
)， ② 继续用递推关系②递推，得 D
n
一αD
n-1
=β(D
n-1
-aD
n-2
)=β
2
(D
n-2
-αD
n-3
)=…=β
n-2
(D
2
-αD
1
)， 而 D
2
=(α+β)
2
一αβ，D
1
=α+β， D
n
一αD
n-1
=β
n-2
(D
2
-αD
1
)=β
n
， ③ ③式递推得 D
n
=αD
n-1
+β
n
=α(αD
n-2
+β
n-1
)+β
n
=…=α
n
+α
n-1
β+α
n-2
β
2
+…+αβ
n-1
+β
n
． 除了将①式变形得②式外，还可将①式改写成 D
n
一βD
n-1
=α(D
n-1
一β
n-2
)， ④ 由④式递推可得 D
n
一βD
n-1
=α
n
， ⑤ ③×β一⑤×α得 (β一α)D
n
=β
n+1
-α
n+1
， 当β一α≠0时，有
方法二 把原行列式表示成如下形式
【答案解析】