问答题
已知三元二次型x
T
Ax的平方项系数都为0，α=(1，2，-1)
T
满足Aα=2α．
问答题
求x
T
Ax的表达式．
【正确答案】
【答案解析】[解] 设
，则条件Aα=2α即
，则条件Aα=2α即
问答题
求作正交变换x=Qy，把x
T
Ax化为标准二次型．
【正确答案】
【答案解析】先求A特征值
于是A的特征值就是2，2，-4．
再求单位正交特征向量组．
属于2的特征向量是(A-2E)x=0的非零解．
得(A-2E)x=0的同解方程组：x 1 -x 2 -x 3 =0．
显然β 1 =(1，1，0) T 是一个解，设第二个解为β 2 =(1，-1，c) T (这样的设定保证了两个解是正交的!)，代入方程得c=2，得到属于特征值2的两个正交的特征向量β 1 ，β 2 ．再把它们单位化：记
，
属于-4的特征向量是(A+4E)x=0的非零解．
求出β 3 =(1，-1，-1) T 是一个解，单位化：记
则η 1 ，η 2 ，η 3 是A的单位正交特征向量组，特征值依次为2，2，-4．
作正交矩阵Q=(η 1 ，η 2 ，η 3 )，则Q -1 AQ是对角矩阵，对角线上的元素为2，2，-4．
作正交变换x=Qy，它把f(x 1 ，x 2 ，x 3 )化为
于是A的特征值就是2，2，-4．
再求单位正交特征向量组．
属于2的特征向量是(A-2E)x=0的非零解．
得(A-2E)x=0的同解方程组：x 1 -x 2 -x 3 =0．
显然β 1 =(1，1，0) T 是一个解，设第二个解为β 2 =(1，-1，c) T (这样的设定保证了两个解是正交的!)，代入方程得c=2，得到属于特征值2的两个正交的特征向量β 1 ，β 2 ．再把它们单位化：记
，
属于-4的特征向量是(A+4E)x=0的非零解．
求出β 3 =(1，-1，-1) T 是一个解，单位化：记
则η 1 ，η 2 ，η 3 是A的单位正交特征向量组，特征值依次为2，2，-4．
作正交矩阵Q=(η 1 ，η 2 ，η 3 )，则Q -1 AQ是对角矩阵，对角线上的元素为2，2，-4．
作正交变换x=Qy，它把f(x 1 ，x 2 ，x 3 )化为