【正确答案】设Z=Z(F)且R(F)在Y中是闭的。定义G：X/Z→R(F)为
   G(x+Z)=F(x)，  x∈X。
   G是线性的且为满射。若G(x+Z)=0，则F(x)=0，即x∈Z，也就是说x+Z是X/z中的零元。所以G是双射。对X中任意x，存在Z中序列{z_n}使得‖x+z_n‖→‖x+Z‖。任取n有
   ‖G(x+Z)‖=‖F(x)‖=‖F(x+z_n)‖≤‖F‖ ‖x+z_n‖
  令n→∞有
   ‖G(x+Z)‖≤‖F‖ ‖x+Z‖
   所以G是连续的。由于X/Z和R(F)均是Banach空间，所以由开映射定理知G是开映射。即G^-1是连续的。所以G是线性同胚。
   反过来，设R(F)与X/Z线性同胚。则由于X/Z是Banach空间，所以R(F)也是Banach空间。从而R(F)在y中是闭的。这就完成了证明。