f(x+1)与f(x-1)都是奇函数，则f(-x+1)=-f(x+1)，f(-x-1)=-f(x-1)，

∴函数f(x)关于点(1，0)及点(-1，0)对称，函数f(x)是周期T=2[1-(-1)]=4的周期函数。

∴f(-x-1+4)=-f(x-1+4)，f(-x+3)=-f(x+3)，即f(x+3)是奇函数。故选D。