设a，b，c为△ABC的三边，且二次三项式x
2
+2ax+b
2
与x
2
+2cx-b
2
有一次公因式，则△ABC一定是______．
A、
等腰三角形
B、
锐角三角形
C、
钝角三角形
D、
直角三角形
E、
等边三角形
【正确答案】
D
【答案解析】
因为题目中的两个二次三项式有一次公因式，所以方程x
2
+2ax+b
2
=0与x
2
+2cx-b
2
=0必有公共根，设公共根为x
0
，则
[*]
式①+式②得[*]，整理得x
0
[x
0
+(a+c)]=0．
若x
0
=0，代入式[*]，得b=0，这与b为△ABC的边不符，所以公共根x
0
=-(a+c)．把x
0
=-(a+c)代入式[*]，得(a+c)
2
-2a(a+c)+b
2
=0，整理得a
2
=b
2
+c
2
，所以△ABC为直角三角形，选D．
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