问答题
已知，y1*(x)= xe-x+e-2x，y2*(x)=xe-x+xe-2x，y3*(x)=xe-x+e-2x+xe-2x是某二阶线性常系数微分方程y''+py'+qy=f(x)的三个特解．
(Ⅰ)求这个方程和它的通解；
(Ⅱ)设y=y(x)是该方程满足y(0)=0，y'(0)=0的特解，
(Ⅰ)求这个方程和它的通解；
(Ⅱ)设y=y(x)是该方程满足y(0)=0，y'(0)=0的特解，
【正确答案】(Ⅰ)由线性方程解的叠加原理
y1(x)=y3*(x)-y2*(x)=e-2x，y2(x)=y3*(x)-y1*(x)=xe-2x
均是相应的齐次方程的解，它们是线性无关的，于是相应的特征方程为
(λ+2)2=0，即λ2+4λ+4=0．
原方程为 y''+ 4y'+4y=f(x)． ①
y1(x)=y3*(x)-y2*(x)=e-2x，y2(x)=y3*(x)-y1*(x)=xe-2x
均是相应的齐次方程的解，它们是线性无关的，于是相应的特征方程为
(λ+2)2=0，即λ2+4λ+4=0．
原方程为 y''+ 4y'+4y=f(x)． ①
【答案解析】