解答题
设函数f(x)在x=x0的某邻域U内存在连续的二阶导数．
(Ⅰ)设当h＞0，(x0-h)∈U，(x0+)∈U，恒有
(Ⅰ)设当h＞0，(x0-h)∈U，(x0+)∈U，恒有
【正确答案】
【答案解析】[证] (Ⅰ)由条件，当h＞0充分小，(x0±h)∈U，有
f(x0+h)-f(x0)+f(x0-h)-f(x0)＞0．
则由拉格朗日中值定理，有
f'(ξ2)h+f'(ξ1)(-h)＞0，
其中x0-h＜ξ1＜x0＜ξ2＜x0+h．又因为h＞0，得
f'(ξ2)-f'(ξ2)＞0．
再在区间[ξ1，ξ2]上用拉格朗日中值定理，有
f"(ξ)(ξ2-ξ1)＞0，
其中x0-h＜ξ1＜ξ＜ξ2＜x0+h．由此推得f"(ξ)＞0．再令h→0，得ξ→x0，并且得
f"(x0)≥0．
证毕．
(Ⅱ)由题设f"(x)在x=x0的邻域U内连续，且f"(x0)＞0，故存在h＞0，使
且在区间[x0-h，x0+h]内f"(x)＞0．将f(x)按(x-x0)的幂展开的泰勒公式，有
其中ξ∈(x，x0)(或(x0，x))，x∈[x0-h，x0+h]，x≠x0．取x=(x0+h)∈U，得
f(x0+h)＞f(x0)+f'(x0)h；
取x=(x0-h)∈U，得f(x0-h)＞f(x0)-f'(x0)h．
从而有f(x0+h)+f(x0-h)＞2f(x0)，
即
f(x0+h)-f(x0)+f(x0-h)-f(x0)＞0．
则由拉格朗日中值定理，有
f'(ξ2)h+f'(ξ1)(-h)＞0，
其中x0-h＜ξ1＜x0＜ξ2＜x0+h．又因为h＞0，得
f'(ξ2)-f'(ξ2)＞0．
再在区间[ξ1，ξ2]上用拉格朗日中值定理，有
f"(ξ)(ξ2-ξ1)＞0，
其中x0-h＜ξ1＜ξ＜ξ2＜x0+h．由此推得f"(ξ)＞0．再令h→0，得ξ→x0，并且得
f"(x0)≥0．
证毕．
(Ⅱ)由题设f"(x)在x=x0的邻域U内连续，且f"(x0)＞0，故存在h＞0，使
且在区间[x0-h，x0+h]内f"(x)＞0．将f(x)按(x-x0)的幂展开的泰勒公式，有其中ξ∈(x，x0)(或(x0，x))，x∈[x0-h，x0+h]，x≠x0．取x=(x0+h)∈U，得
f(x0+h)＞f(x0)+f'(x0)h；
取x=(x0-h)∈U，得f(x0-h)＞f(x0)-f'(x0)h．
从而有f(x0+h)+f(x0-h)＞2f(x0)，
即