解答题
1.(2018年)设数列{xn}满足：x1>0，xnexn+1=exn一1(n=1，2，…)．证明{xn}收敛，并求
【正确答案】由于x1≠0，所以
根据微分中值定理，存在ξ∈(0，x1)，使得
所以ex2=eξ，故0＜x2＜x1．
假设0＜xn+1＜xn，则
所以0＜xn+2＜xn+1．
故{xn}是单调减少的数列，且有下界，从而{xn}收敛．
设
得aea=ea一1．易知a=0为其解．
令f(x)=xex一ex+1，则f'(x)=xex．
当x＞0时，f'(x)＞0，函数f(x)在[0，+∞)上单调增加，所以a=0是方程aea=ea一1在[0，+∞)上的唯一解，故
根据微分中值定理，存在ξ∈(0，x1)，使得
所以ex2=eξ，故0＜x2＜x1．
假设0＜xn+1＜xn，则
所以0＜xn+2＜xn+1．
故{xn}是单调减少的数列，且有下界，从而{xn}收敛．
设
得aea=ea一1．易知a=0为其解．令f(x)=xex一ex+1，则f'(x)=xex．
当x＞0时，f'(x)＞0，函数f(x)在[0，+∞)上单调增加，所以a=0是方程aea=ea一1在[0，+∞)上的唯一解，故
【答案解析】