问答题
设y(x)是方程y
(4)
一y"=0的解，且当x→0时，y(x)是x的三阶无穷小，求y(x)．
【正确答案】正确答案：由泰勒公式
当x→0时，y(x)与x
3
同阶，即有y(0)=0，y'(0)=0，y"(0)=0，y'"(0)=C，其中C为非零常数．由这些初值条件，现将方程y
(4)
一y"=0两边积分得
即y'"(x)一C—y'(x)=0，两边再积分得y"(x)一y(x)=Cx． 易知，它有特解y
*
=一Cx，因此它的通解是y=C
1
e
x
+C
2
e
-x
一Cx． 由初值y(0)=0，y'(0)=0得 C
1
+C
2
=0，C
1
+C
2
，即
因此最后得
当x→0时，y(x)与x
3
同阶，即有y(0)=0，y'(0)=0，y"(0)=0，y'"(0)=C，其中C为非零常数．由这些初值条件，现将方程y
(4)
一y"=0两边积分得
即y'"(x)一C—y'(x)=0，两边再积分得y"(x)一y(x)=Cx． 易知，它有特解y
*
=一Cx，因此它的通解是y=C
1
e
x
+C
2
e
-x
一Cx． 由初值y(0)=0，y'(0)=0得 C
1
+C
2
=0，C
1
+C
2
，即
因此最后得
【答案解析】