解答题
21.设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且
试证：对任意实数k，在(a，b)内存在一点ξ，使得
试证：对任意实数k，在(a，b)内存在一点ξ，使得
【正确答案】令F(x)=e-kxf(x)．由题设知F(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，不妨假定f(A)＞0，则
而e-kx＞0，故
由闭区间上连续函数的零点定理(介值定理)知，存在点c1，c2，使
于是F(x)在[c1，c2]上满足罗尔定理条件．由该定理知，在(c1，c2)内必存在一点ξ，使F'(ξ)=0(c1＜ξ＜c2)，即F'(ξ)=e-kξ[f'(ξ)一kf(ξ)]=0．而e-kξ＞0，故
而e-kx＞0，故
由闭区间上连续函数的零点定理(介值定理)知，存在点c1，c2，使于是F(x)在[c1，c2]上满足罗尔定理条件．由该定理知，在(c1，c2)内必存在一点ξ，使F'(ξ)=0(c1＜ξ＜c2)，即F'(ξ)=e-kξ[f'(ξ)一kf(ξ)]=0．而e-kξ＞0，故【答案解析】