问答题
设n阶矩阵
【正确答案】
【答案解析】设α=(a
1
，a
2
，…，a
n
)
T
，β=(b
1
，b
2
，…，b
n
)
T
，则
A=αβ T ，
设λ是A的特征值，α 1 是A的属于特征值λ的特征向量，则
Aα 1 =λα 1 ，A 2 α 1 =aAα 1 =aλα 1 ．
又 A 2 α 1 =A·Aα 1 =Aλα 1 =λAα 1 =λ 2 α 1 ，
则aλα 1 =λ 2 α 1 ，即(λ 2 -aλ)α 1 =0．
因为α 1 ≠0，所以
又
，所以λ=a是A的1重特征值，λ
2
=λ
3
=…=λ
n
=0是A的n=1重特征值．
对于特征值λ 2 =λ 3 =…=λ n =0，齐次线性方程组(0E-A)X=0的系数矩阵的秩为
r(0E-A)=r(-A)=r(A)=r(αβ T )≤min{r(α)，r(β T )}=1．
又
A=αβ T ，
设λ是A的特征值，α 1 是A的属于特征值λ的特征向量，则
Aα 1 =λα 1 ，A 2 α 1 =aAα 1 =aλα 1 ．
又 A 2 α 1 =A·Aα 1 =Aλα 1 =λAα 1 =λ 2 α 1 ，
则aλα 1 =λ 2 α 1 ，即(λ 2 -aλ)α 1 =0．
因为α 1 ≠0，所以
又
，所以λ=a是A的1重特征值，λ
2
=λ
3
=…=λ
n
=0是A的n=1重特征值．
对于特征值λ 2 =λ 3 =…=λ n =0，齐次线性方程组(0E-A)X=0的系数矩阵的秩为
r(0E-A)=r(-A)=r(A)=r(αβ T )≤min{r(α)，r(β T )}=1．
又