问答题
设B是可逆阵，A和B同阶，且满足A
2
+AB+B
2
=O证明：A和A+B都是可逆阵，并求A
-1
和(A+B)
-1
．
【正确答案】
【答案解析】
【证】由题设：A
2
+AB+B
2
=O，得
A(A+B)=-B
2
． ①
①式有乘(-B
2
)
-1
，得A(A+B)(-B
2
)
-1
=E．得A可逆，且
A
-1
=(A+B)(-B
2
)
-1
．
①式左乘(-B
2
)
-1
，得(-B
2
)
-1
A(A+B)=E．得A+B可逆，且
(A+B)
-1
=(-B
2
)
-1
A．
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