解答题
设A为3阶实对称矩阵，α1＝(1，－1，－1)T，α2＝(－2，1，0)T是齐次线性方程组Ax＝0的基础解系，且矩阵A－6E不可逆。
问答题
22.求齐次线性方程组(A－6E)x＝0的通解；
【正确答案】首先，因为矩阵A－6E不可逆，所以λ＝6是矩阵A的一个特征值；其次，因为α1，α2是齐次线性方程组Ax＝0的基础解系，所以λ＝0是矩阵A的二重特征值，所以A的特征值为0，0，6。
齐次线性方程组(A－6E)x＝0的通解是矩阵A的属于特征值λ＝6的特征向量。因为A为3阶实对称矩阵，从而属于不同特征值的特征向量正交。
设α3＝(x1，x2，x3)T是矩阵A的属于特征值λ＝6的一个特征向量，则
(α1，α3)＝0，(α2，α3)＝0，
解得α3＝(－1，－2，1)T，所以齐次线性方程组(A－6E)x＝0的通解为kα3，k为任意常数。
齐次线性方程组(A－6E)x＝0的通解是矩阵A的属于特征值λ＝6的特征向量。因为A为3阶实对称矩阵，从而属于不同特征值的特征向量正交。
设α3＝(x1，x2，x3)T是矩阵A的属于特征值λ＝6的一个特征向量，则
(α1，α3)＝0，(α2，α3)＝0，
解得α3＝(－1，－2，1)T，所以齐次线性方程组(A－6E)x＝0的通解为kα3，k为任意常数。
【答案解析】
问答题
23.求正交变换x＝Qy将二次型xTAx化为标准形；
【正确答案】下面将向量组α1，α2，α3正交化。令
下面将向量组β1，β2，β3单位化。令
令
下面将向量组β1，β2，β3单位化。令
令
【答案解析】
问答题
24.求(A－3E)100。
【正确答案】
所以
所以
【答案解析】