单选题
14.设f(x)在(a，b)定义，x0∈(a，b)，则下列命题中正确的是
【正确答案】
C
【答案解析】【分析一】 (A)，(B)，(D)涉及到一些基本事实．
若f(x)在(a，b)可导且单调增加
f'(x)≥0(x∈(a，b))．
若(x0，f(x0))是曲线y＝f(x)的拐点，则f''(x0)可能不存在．
若x＝x0是f(x)的极值点，则f'(x0)可能不存在．
因此(A)，(B)，(D)均不正确(如图4．1所示)．选(C)．
【分析二】 考察(C)．f'''(x0)≠0，不妨设f'''(x0)＞0，则
f'(x)在(x0一δ，x0]单调下降，在[x0，x0＋δ)单调上升
f'(x)＞f'(x0)＝0(x∈(x0—δ，x0＋δ)，x≠x0)．
f(x)在(x0一δ，x0＋δ)单调上升，x0不是f(x)的极值点．选(C)．
【分析三】 考察(C)．不妨设f'''(x0)＞0．由题设，f(x)在x＝x0有如下三阶泰勒公式：
f(x)一f(x0)＝f'(x0)(x—x0)＋
f''(x0)(x—x0)2＋
f'''(x0)(x一x0)3＋o((x一x0)3)
＝(x一x0)3。[
f'''(x0)＋o(1)](x→x0)，
其中o(1)为无穷小量(x→x0时)
δ＞0，[f(x)一f(x0)]
因此x＝x0不是f(x)的极值点．
若f(x)在(a，b)可导且单调增加
f'(x)≥0(x∈(a，b))．若(x0，f(x0))是曲线y＝f(x)的拐点，则f''(x0)可能不存在．
若x＝x0是f(x)的极值点，则f'(x0)可能不存在．
因此(A)，(B)，(D)均不正确(如图4．1所示)．选(C)．
【分析二】 考察(C)．f'''(x0)≠0，不妨设f'''(x0)＞0，则
f'(x)在(x0一δ，x0]单调下降，在[x0，x0＋δ)单调上升f'(x)＞f'(x0)＝0(x∈(x0—δ，x0＋δ)，x≠x0)．
f(x)在(x0一δ，x0＋δ)单调上升，x0不是f(x)的极值点．选(C)．【分析三】 考察(C)．不妨设f'''(x0)＞0．由题设，f(x)在x＝x0有如下三阶泰勒公式：
f(x)一f(x0)＝f'(x0)(x—x0)＋
f''(x0)(x—x0)2＋f'''(x0)(x一x0)3＋o((x一x0)3)＝(x一x0)3。[
f'''(x0)＋o(1)](x→x0)，其中o(1)为无穷小量(x→x0时)
δ＞0，[f(x)一f(x0)]因此x＝x0不是f(x)的极值点．