【正确答案】 C

【答案解析】 设L的方程为y=y(x)，由题设知y(0)=1，y(1)=0．又因L是连接A，B两点的凸弧，从而当0≤x＜1时y(x)＞0成立．
   设点Q是点P在x轴上的投影，则点Q的坐标是(x，0)，且曲边梯形OQPA的面积为[*]，梯形OQPA的面积为[*]，于是凸弧L与弦AP围成的平面图形的面积
   [*]
   因y(x)连续，于是[*]可导，由上面等式知y(x)当0＜x≤1时可导．将上式求导即得
   [*]
   整理得y=y(x)满足一阶线性微分方程
   [*]
   用积分因子[*]同乘方程两端，得
   [*]
   积分得方程的通解
   [*]
   令x=1，y(1)=0可确定常数C=3，故L的方程是y=1+3x-4x³．应选(C)．
   [评注] (1)  对任何常数C函数y=1+Cx-4x³都满足条件y(0)=1．因而求得的曲线L满足题目要求的全部条件．
   (2)  函数e^∫p(x)dx称为一阶线性方程y'+p(x)y=Q(x)的积分因子，用它同乘方程的两端可得(ye^∫p(x)dx)'=Q(x)e^∫p(x)dx，再积分一次就可求得方程的通解．