问答题
证明：
问答题
若随机变量X只取一个值a，则X与任一随机变量Y独立；
【正确答案】证明：x＜a时，P(X≤x)=0，故P(X≤x，Y≤y)=P(X≤x)P(Y≤y)=0；x≥a时，P(X≤x)=1，故P(X≤x，Y≤y)=P(Y≤y)=P(X≤x)P(Y≤y)．[*]y∈R1即[*](x，y)∈R2，有P(X≤x，Y≤y)=P(X≤x)P(Y≤y)，即X与Y独立；
【答案解析】
问答题
若随机变量X与自己独立．则必有常数C，使得P(X=c)=1．
【正确答案】由已知得：[*](x，y)∈R2，有P(X≤x，X≤y)=P(X≤x)P(X≤y)记X的分布函数为F(x)，则F(x)=P(X≤x)
前式中令y=x即得F(x)=[F(x)]2，可见F(x)只能取0或1，又由F(-∞)=0，F(+∞)=1，知必存在C(常数)，使得
[*]
故P{X=C}=1．
前式中令y=x即得F(x)=[F(x)]2，可见F(x)只能取0或1，又由F(-∞)=0，F(+∞)=1，知必存在C(常数)，使得
[*]
故P{X=C}=1．
【答案解析】
问答题
设X～N(0，1)．给定X=x条件下时Y～N(ρx，1-ρ2)(0＜ρ＜1)．求(X，Y)的密度以及给定Y=y条件下X的分布．
【正确答案】由题意，X的概率密度为[*]，而已知X=x条件下，y的条件概率密度为，fY｜X(y｜x)=[*]，故(X，Y)的概率密度为[*]，可见(X，Y)服从二维正态分布，且EX=EY=0，DX=DY=1，(X，Y)的相关系数为ρ，故Y～N(0，1)，Y的概率密度为[*]，故Y=y的条件下X的条件概率密度为[*]，y∈R1，x∈R1．
【答案解析】
问答题
设区域D为：由以(0，0)，(1，1)，
为顶点的四边形与以
为顶点的四边形与以
【正确答案】易算得D1的面积为[*]，D2的面积为[*]，故D的面积为[*]，∴(X，Y)的概率密度为
[*]
∴fX(x)=[*]
当x≤0或x≥1时，fX(x)=0；
当[*]时，[*]；
当[*]时，[*]．
而[*]．当y≤0或y≥1时，fY(y)=0；当[*]时，[*]；当[*]时，[*]．
[*]
∴fX(x)=[*]
当x≤0或x≥1时，fX(x)=0；
当[*]时，[*]；
当[*]时，[*]．
而[*]．当y≤0或y≥1时，fY(y)=0；当[*]时，[*]；当[*]时，[*]．
【答案解析】
问答题
设X服从参数为2的指数分布，求Y=1-e-2X的概率密度fY(y)．
【正确答案】X的概率密度为：[*]y的分布函数FY(y)=P(Y≤y)=P(1-e-2X≤y)=P(e-2X≥1-y)，1-y≤0即y≥1时，FY(y)=1，fY(y)=0；1-y＞0即．y＜1时，FY(y)=P{-2X≥ln(1-y)}=[*]，∴fY(y)=[*]=[*]，故[*]
【答案解析】
问答题
设一电路装有3个同种电气元件，它们工作状态相互独立，且无故障工作时间均服从参数为λ的指数分布(λ＞0)．当3个元件都无故障时，电路正常工作，否则电路不能正常工作．求电路正常工作的时间T的密度f(t)．
【正确答案】记X1，X2，X3为这3个元件的无故障工作的时间，则T=min(X1，X2，X3)的分布函数为FT(t)=P(T≤t)=1-P{min(X1，X2，X3)＞t)=1-[P(X1＞t)]3=1-[1-P(X1≤t)]3=1-[*]，
故[*]
故[*]
【答案解析】