问答题
设A，B是n阶矩阵，证明：
问答题
当A可逆时，AB和BA有相同的特征值；
【正确答案】
【答案解析】当A可逆时，因A
-1
(AB)A=(A
-1
A)BA=BA，故AB～BA．相似矩阵有相同的特征值，故AB和BA有相同的特征值．
问答题
证明AB和BA有相同的特征值．
【正确答案】
【答案解析】思路一：若AB有特征值λ=0，则|AB|=|A||B|=|BA|=0，故BA也有特征
值λ=0；若AB有特征值λ≠0，并设相应的特征向量为α(≠0)，即
(AB)α=λα，α≠0． (*)
式(*)左乘B，得B(AB)α=λB α
(BA)(Bα)=λBα，其中Bα≠0，(若Bα=0，则由式(*)(AB)α=A(Bα)=0，这和λ≠0且α≠0矛盾)，故BA也有特征值λ≠0，对应的特征向量为Bα，得证AB和BA有相同的特征值．
思路二：AB有特征值λ=0，则|AB|=|A||B|=|BA|=0，故BA也有特征值λ=0；若λ≠0，则
值λ=0；若AB有特征值λ≠0，并设相应的特征向量为α(≠0)，即
(AB)α=λα，α≠0． (*)
式(*)左乘B，得B(AB)α=λB α
(BA)(Bα)=λBα，其中Bα≠0，(若Bα=0，则由式(*)(AB)α=A(Bα)=0，这和λ≠0且α≠0矛盾)，故BA也有特征值λ≠0，对应的特征向量为Bα，得证AB和BA有相同的特征值．
思路二：AB有特征值λ=0，则|AB|=|A||B|=|BA|=0，故BA也有特征值λ=0；若λ≠0，则