解答题
设A为n阶实对称矩阵，秩r(A)=n；Aij是A=(aij)n×n中元素aij的代数余子式(i，j=1，2，…，n)，二次型
问答题
记x=(x1，x2，…，xn)T，把f(x1，x2，…，xn)写成矩阵形式，并证明二次型f(x)的矩阵为A-1；
【正确答案】
【答案解析】[解]二次型f(x1，x2，…，xn)的矩阵形式为
因秩r(A)=n，故A可逆，且
因秩r(A)=n，故A可逆，且
问答题
二次型g(x)=xTAx与f(x)的规范型是否相同?说明理由．
【正确答案】
【答案解析】[解]方法一：因为
(A-1)TAA-1=(AT)-1=A-1．
所以A与A-1合同，于是g(x)=xTAx与f(x)有相同的规范形．
方法二：对二次型g(x)=xTAx，作可逆线性变换x=A-1y，其中y=(y1，y2，…，yn)T．
g(x)=xTAx=(A-1y)TA(A-1y)=yT(A-1)TAA-1y
=yT(AT)-1AA-1y=yTA-1y．
由此得知A与A-1合同．于是f(x)与g(x)必有相同的规范形．
方法三：设λ1，λ2，…，λn为A的n个特征值，对应特征向量为α1，α2，…，αn即
Aαi=λiαi，i=1，2，…，n．
由秩r(A)=n知λ≠0，且有A-1αi=λ-1αi，即A-1的”个特征值为
(A-1)TAA-1=(AT)-1=A-1．
所以A与A-1合同，于是g(x)=xTAx与f(x)有相同的规范形．
方法二：对二次型g(x)=xTAx，作可逆线性变换x=A-1y，其中y=(y1，y2，…，yn)T．
g(x)=xTAx=(A-1y)TA(A-1y)=yT(A-1)TAA-1y
=yT(AT)-1AA-1y=yTA-1y．
由此得知A与A-1合同．于是f(x)与g(x)必有相同的规范形．
方法三：设λ1，λ2，…，λn为A的n个特征值，对应特征向量为α1，α2，…，αn即
Aαi=λiαi，i=1，2，…，n．
由秩r(A)=n知λ≠0，且有A-1αi=λ-1αi，即A-1的”个特征值为