解答题
6.设A是n阶实对称矩阵，证明：
(1)存在实数c，使对一切X∈Rn，有｜χTAχ｜≤cχTχ．
(2)必可找到一个数a，使A＋aE为对称正定矩阵．
(1)存在实数c，使对一切X∈Rn，有｜χTAχ｜≤cχTχ．
(2)必可找到一个数a，使A＋aE为对称正定矩阵．
【正确答案】(1)设A的特征值为λ1，λ2，…，λn．
令c＝max{｜λ1｜，｜λ2｜，…，｜λn｜)，则有正交变换χ＝Py，
使χTAχ＝
λiyi2，且yTy＝χTχ，
故｜χTAχ｜＝
令c＝max{｜λ1｜，｜λ2｜，…，｜λn｜)，则有正交变换χ＝Py，
使χTAχ＝
λiyi2，且yTy＝χTχ，故｜χTAχ｜＝
【答案解析】