解答题
17.设f(x)在[0，2]上连续，在(0，2)内二阶可导，且
，又f(2)＝
，又f(2)＝
【正确答案】根据
，则
，可得f(1)＝－1，又因为
所以f'(1)＝0。由积分中值定理知，存在一点c∈[1，3／2]，使得
于是根据罗尔定理，存在x0∈(c，2)
(1，2)，使得f'(x0)＝0。
令φ(x)＝exf'(x)，则φ(1)＝φ(x0)＝0，再利用罗尔定理得，存在ξ∈(1，x0)
，则，可得f(1)＝－1，又因为所以f'(1)＝0。由积分中值定理知，存在一点c∈[1，3／2]，使得
于是根据罗尔定理，存在x0∈(c，2)
(1，2)，使得f'(x0)＝0。令φ(x)＝exf'(x)，则φ(1)＝φ(x0)＝0，再利用罗尔定理得，存在ξ∈(1，x0)
【答案解析】本题先利用等价无穷小化简题目所给极限，然后结合积分中值定理和罗尔定理证明最终结果。