解答题
1.
(99年)设A为m×n实矩阵，E为n阶单位矩阵．已知矩阵B＝λE＋A
T
A，试证：当λ＞0时，矩阵B为正定矩阵．
【正确答案】
因为
B
T
＝(λE＋A
T
A)
T
＝λE＋A
T
A＝B
所以B为n阶对称矩阵．对于任意的实n维向量χ，有
χ
T
Bχ＝χ
T
(λE＋A
T
A)χ＝λχ
T
χ＋χ
T
A
T
Aχ＝λχ
T
χ＋(Aχ)
T
(Aχ)
当χ≠0时，有χ
T
χ＞0，(Aχ)
T
(Aχ)≥0．因此，当λ＞0时，对任意的χ≠0，有
χ
T
Bχ＝λχ
T
χ＋(Aχ)
T
(Aχ)＞0
即B为正定矩阵．
【答案解析】
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