【正确答案】(1)由运算+
m和×
m的定义知，它们在Z
m上都是封闭的，故(Z
m，+m)和(Z
m，×
m)都为代数系统．
(2)对于任意的[i]，[j]，[k]∈Z
m，有
([i]+
m[j]+
m[k]=[((i+j)+k)(modm)]=[(i+(j+k))(modm)]
=[i]+
m([j]+
m[k])；
([i]×
m[j])×
m[k]=[((i×j)×k)(modm)]=[(i×(j×k))(modm)]
=[i]×
m([j]×
m[k])；
即运算+
m和×
m都是可结合的．
(3)因为
[0]+
m[j]=[(0+j)(modm)]=[j(modm)]=[j]，
所以[0]是(Z
m，+
m)的左单位元．同理，[0]是(Z
m，+
m)的右单位元．所以[0]是(Z
m，+
m)的单位元．
[1]×
m[j]=[(1×j)(modm)]=[j(modm)]=[j]，
所以[1]是(Z
m，×
m)的左单位元．同理，[1]是(Z
m，×
m)的右单位元．所以[1]是(Z
m，×
m)的单位元．
因此，(Z
m，+
m)和(Z
m，×
m)都为独异点．从而由定理可知，这两个运算的运算表(见表5-8和表5-9)中任何两行或两列都不相同．
表5-8
|
| +m | 0 | 1 | 2 | 3 | … | m-2 | m-1 |
| 0 | 0 | 1 | 2 | 3 | … | m-2 | |
| 1 | 1 | 2 | 3 | 4 | … | m-1 | 0 |
| 2 | 2 | 3 | 4 | 5 | … | 0 | 1 |
| 3 | 3 | 4 | 5 | 6 | … | 1 | 2 |
| vdots | vdots | vdots | vdots | vdots | | vdots | vdots |
| m-2 | | m-1 | 0 | 1 | … | 2 | |
| m-1 | m-1 | 0 | 1 | 2 | … | 3 | |
表5-9
|
| ×m | 0 | 1 | 2 | 3 | … | m-2 | |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | … | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 2 | 3 | … | m-2 | |
| 2 | 0 | 2 | 4 | 6 | … | m-4 | m-2 |
| 3 | 0 | 3 | 6 | 9 | … | m-6 | |
| vdots | vdots | vdots | vdots | vdots | | vdots | vdots |
| m-2 | 0 | m-2 | m-4 | | … | 4 | 2 |
| m-1 | 0 | m-1 | m-2 | | … | 2 | 1 |