【正确答案】[证明] Δz=f(x₀+Δx，y₀+Δ3y)-f(x₀，y₀)
=f(x₀+Δx，y₀+Δy)-f(x₀+Δx，y₀)+f(x₀+Δx，y₀)-f(x₀，y₀)
由一元函数拉格朗日中值定理知
f(x₀+Δx，y₀+Δy)-f(x₀+Δx，y₀)
=f'_y(x₀+Δx，y₀+θ₂Δy)Δy
由f'_y(x，y)在(x₀，y₀)处连续，则
[*]
则f'_y(x₀+Δx，y₀+θ₂Δy)=f'_y(x₀，y₀)+ε₂
其中ε₂为△x→0，△y→0时的无穷小量，从而有
f(x₀+Δx，y₀+Δy)-f(x₀+Δx，y₀)
=f'_y(x₀,y₀)Δy+ε₂Δy
又由于f'_y(x₀，y₀)存在，则
[*]
其中ε₁为Δx→0，Δy→0时的无穷小量．
则 f(x₀+△x，y₀)-f(x₀，y₀)=f'_x(x₀，y₀)Δx+ε₁Δx
△z=f'_x(x₀，y₀)Δx+f'_y(x₀，y₀)Δy+ε₁Δx+_ε2△y
[*]
≤|ε₁|+|ε₂|→0(当Δx→0，Δy→0时)
则当Δx→0，Δy→0时，
ε₁Δx+ε₂Δy=o(ρ)
故f(x，y)在(x₀，y₀)处可微．
[＜strong＞例题分析＜/strong＞]