问答题
设
具有连续的二阶偏导数，且满足
具有连续的二阶偏导数，且满足
【正确答案】记[*]，则
[*]
[*]
代入已知u满足的关系式，整理得
[*]
这是二阶常系数非齐次微分方程，相应齐次方程的特征方程为：λ2+1=0，λ=±i，齐次方程通解为U=c1cosr+c2sinr(c1，c2为任意常数)，非齐次方程有特解形如u*=Ar2+Br+C，代入(*)式，得A=1，B=0，C=-2，即u*=r2-2，从而有
u=c1cosr+c2sinr+r2-2
[*](c1，c2为任意常数)．
[*]
[*]
代入已知u满足的关系式，整理得
[*]
这是二阶常系数非齐次微分方程，相应齐次方程的特征方程为：λ2+1=0，λ=±i，齐次方程通解为U=c1cosr+c2sinr(c1，c2为任意常数)，非齐次方程有特解形如u*=Ar2+Br+C，代入(*)式，得A=1，B=0，C=-2，即u*=r2-2，从而有
u=c1cosr+c2sinr+r2-2
[*](c1，c2为任意常数)．
【答案解析】[考点] 二元函数的二阶偏导数与二阶常系数微分方程