解答题
设二次型
问答题
24.计算a的值；
【正确答案】二次型的矩阵为
【答案解析】先根据惯性指数求得a，再求特征值及单位化的特征向量，将二次型标准化，最后借助标准形求得f的最值．
问答题
25.用正交变换将二次型化为标准形；
【正确答案】此时｜λE-A｜=λ(λ+3)(λ-3)，所以A的特征值是3，-3，0．
当λ1=3时，解方程组(3E—A)x=0，得基础解系为α1=(1，0，1)T；
当λ2=-3时，解方程组(-3E一A)x=0，得基础解系为α2=(1，-2，-1)T；
当λ3=0时，解方程组(0E—A)x=0，得基础解系为α3=(1，1，-1)T．
将α1，α2，α3单位化得
故有正交阵
因此所求的正交变换为
所求的标准形为
当λ1=3时，解方程组(3E—A)x=0，得基础解系为α1=(1，0，1)T；
当λ2=-3时，解方程组(-3E一A)x=0，得基础解系为α2=(1，-2，-1)T；
当λ3=0时，解方程组(0E—A)x=0，得基础解系为α3=(1，1，-1)T．
将α1，α2，α3单位化得
故有正交阵
因此所求的正交变换为
所求的标准形为
【答案解析】
问答题
26.当x满足xTx=2时，求f的最大值与最小值．
【正确答案】由于x=Qy，可知
因此限制条件xTx=2也等价于
由于二次型为
，易知其在
因此限制条件xTx=2也等价于
由于二次型为
，易知其在【答案解析】