问答题
设A为3阶矩阵，α
1
，α
2
，α
3
是线性无关的3维列向量，且满足Aα
1
=α
1
+α
2
+α
3
，Aα
2
=2α
2
+α
3
，Aα
3
=2α
2
+3α
3
．
(Ⅰ)求矩阵A的特征值；
(Ⅱ)求可逆矩阵P，使A与对角矩阵
(Ⅰ)求矩阵A的特征值；
(Ⅱ)求可逆矩阵P，使A与对角矩阵
【正确答案】
【答案解析】依题设条件有
记P 1 =(α 1 ，α 2 ，α 3 )，
．则上式可写为AP
1
=P
1
B．由于α
1
，α
2
，α
3
线性无关，故矩阵P
1
可逆．两端左乘
，得
，即矩阵A与矩阵B相似．而
因此，B的特征值是1，1，4．因为A～B．故A也有相同的特征值1，1，4．
(Ⅱ)对矩阵B，由(E-B)X=0，得到属于λ 1 =λ 2 =1的特征向量为β 1 =(-1，1，0) T ，β 2 =(-2，0，1) T ．由(4E-B)X=0得到属于λ 3 =4的特征向量β 3 =(0，1，1) T ．
令
，得
．于是
因此，当P=P 1 P 2 =(α 1 ，α 2 ，α 3 )
=(-α
1
+α
2
，-2α
1
+α
3
，α
2
+α
3
)时，
记P 1 =(α 1 ，α 2 ，α 3 )，
．则上式可写为AP
1
=P
1
B．由于α
1
，α
2
，α
3
线性无关，故矩阵P
1
可逆．两端左乘
，得
，即矩阵A与矩阵B相似．而
因此，B的特征值是1，1，4．因为A～B．故A也有相同的特征值1，1，4．
(Ⅱ)对矩阵B，由(E-B)X=0，得到属于λ 1 =λ 2 =1的特征向量为β 1 =(-1，1，0) T ，β 2 =(-2，0，1) T ．由(4E-B)X=0得到属于λ 3 =4的特征向量β 3 =(0，1，1) T ．
令
，得
．于是
因此，当P=P 1 P 2 =(α 1 ，α 2 ，α 3 )
=(-α
1
+α
2
，-2α
1
+α
3
，α
2
+α
3
)时，