解答题
4.(99年)为清除井底的污泥，用缆绳将抓斗放入井底，抓起污泥后提出井口，已知井深30 m，抓斗自重400 N，缆绳每米重50 N，抓斗抓起的污泥重2 000 N，提升速度为3 m／s．在提升过程中。污泥以20 N／s的速度从抓斗缝隙中漏掉，现将抓起污泥的抓斗提升至井口，问克服重力需作多少焦耳的功?(说明：①1 N×1 m=1 J；m，N，s，J分别表示米、牛顿、秒、焦耳．②抓斗的高度及位于井口上方的缆绳长度忽略不计)
【正确答案】作x轴如图2．18，将抓起污泥的抓斗提升到井口需做功
w=w1+w2+w3
其中w1是克服抓斗自重作的功；w2是克服缆绳所做的功；w3是提升污泥所做
的功．由题设可知
w1=400×30=12 000
dw2=50(30—x)dx
从而 w2=∫03050(30一x)dx=22 500
在时间间隔[t，t+dt]内提升污泥所做的功为
dw3=3(2 000—20t)dt
将污泥从井底提升到井口共需时间
=10，所以
w3=∫0103(2 000—20t)dt=57 000
则共需做功
w=12 000+22 500+57 000=91 500 (J)
w=w1+w2+w3
其中w1是克服抓斗自重作的功；w2是克服缆绳所做的功；w3是提升污泥所做
的功．由题设可知
w1=400×30=12 000
dw2=50(30—x)dx
从而 w2=∫03050(30一x)dx=22 500
在时间间隔[t，t+dt]内提升污泥所做的功为
dw3=3(2 000—20t)dt
将污泥从井底提升到井口共需时间
=10，所以w3=∫0103(2 000—20t)dt=57 000
则共需做功
w=12 000+22 500+57 000=91 500 (J)
【答案解析】