【正确答案】

【答案解析】y"-y"-2y=(1-2x)e ^x ． [解析] y ₁ -y ₂ =e ^2x -e ^-x ，y ₁ －y ₃ =e ^-x 都是相应齐次方程的解．
而(y ₁ -y ₂ )+(y ₁ -y ₃ )=e ^2x 也是齐次方程的解，e ^2x 与e ^-x 是两个线性无关的解，而y ₂ =xe ^x +e ^-x 是非齐次方程的解，从而y ₂ -e ^-x =xe ^x 也是非齐次方程的解，由e ^-x ，e ^2x 是齐次方程的解，可知特征根r ₁ =-1，r ₂ =2，特征方程为(r+1)(r-2)=0，即r ² -r-2=0．设所求非齐次方程为y"-y"-2y=f(x)．将非齐次解xe ^x 代入，得
f(x)=(xe ^x )"-(xe ^x )"-2xe ^x =(1-2x)e ^x
故所求方程为y"-y"-2y=(1-2x)e ^x ．