问答题
假设函数f(x)和g(x)在[a，b]上存在二阶导数，并且g"(x)≠0，f(a)=f(b)=g(a)=g(b)=0，试证：
问答题
在开区间(n，b)内g(x)≠0；
【正确答案】反证法．若了[*]c∈(a，b)，使g(c)=0，则由罗尔定理知[*]ξ1∈(a，c)，ξ2∈(c，b)，使g'(ξ1)=g'(ξ2)=0，从而[*]ξ∈(ξ1，ξ2)．使g"(ξ)=0，这与题设g"(x)≠0矛盾．
【答案解析】
问答题
在开区间(a，b)内至少存在一点ξ，使
【正确答案】令[*]=f(x)g'(x)-f'(x)g(x)
由f(a)=f(b)=g(a)=g(b)=0知，[*]=[*]=0，由罗尔定理知[*]ξ∈(a，b)，使[*]=0，
即
[*]
【答案解析】本题主要考查罗尔中值定理．本题的关键和难点是辅助函数[*]的构造．
问答题
设f(x)在[0，1]上具有二阶导数，且满足条件｜f(x)｜≤a，｜f"(x)｜≤b，其中a，b都是非负常数，c是(0，1)内任一点，证明
【正确答案】证 [*]
其中ξ=c+θ(x-c)，0＜θ＜1．在上式中分别令x=0，x=1得
[*]，0＜x＜ξ2＜1
[*]，0＜x＜ξ2＜1
两式相减得
[*]
于是 [*]
由于c∈(0，1)，(1-c)2+c2≤1
故 [*]
其中ξ=c+θ(x-c)，0＜θ＜1．在上式中分别令x=0，x=1得
[*]，0＜x＜ξ2＜1
[*]，0＜x＜ξ2＜1
两式相减得
[*]
于是 [*]
由于c∈(0，1)，(1-c)2+c2≤1
故 [*]
【答案解析】本题主要考查勒中值定理
问答题
试证：当x＞0时，(x2-1)lnx≥(x-1)2．
【正确答案】证1 令[*]=(x2-1)lnx-(x-1)2，易知[*]=0，
[*]
[*]
[*]则[*]在x=1取得极小值．
又x=1是[*]在(0，+∞)唯一的极值点，则[*]在x=1取得在区间(0，+∞)上的最小值．
又[*]，则当x＞0时，[*]≥O，即
(x2-1)lnx≥(x-1)2
证2 令[*]
则 [*]，(当x＞0)
[*]，所以当0＜x＜1时，[*]＜O，当1＜x＜+∞时，[*]＞0，于是x＞0时，(x2-1)[*]=(x2-1)inx-(x2-1)≥0，即
(x2-1)lnx≥(x-1)2
证3 由拉格朗日中值定理知[*]．其中ξ介于1与z之间，即1＜ξ＜x或x＜ξ＜1，所以总有0＜ξ＜1+x，从而[*]．于是当x＞0时
(x2-1)lnx-(x-1)2=(x-1)2[*]≥0
[*]
[*]
[*]则[*]在x=1取得极小值．
又x=1是[*]在(0，+∞)唯一的极值点，则[*]在x=1取得在区间(0，+∞)上的最小值．
又[*]，则当x＞0时，[*]≥O，即
(x2-1)lnx≥(x-1)2
证2 令[*]
则 [*]，(当x＞0)
[*]，所以当0＜x＜1时，[*]＜O，当1＜x＜+∞时，[*]＞0，于是x＞0时，(x2-1)[*]=(x2-1)inx-(x2-1)≥0，即
(x2-1)lnx≥(x-1)2
证3 由拉格朗日中值定理知[*]．其中ξ介于1与z之间，即1＜ξ＜x或x＜ξ＜1，所以总有0＜ξ＜1+x，从而[*]．于是当x＞0时
(x2-1)lnx-(x-1)2=(x-1)2[*]≥0
【答案解析】本题主要考查证明函数不等式的方法．