问答题
证明不等式(a+b)e
a+b
＜ae
2a
+be
2b
当b＞a＞0时成立．
【正确答案】
【答案解析】[证法一] 不等式可改写为ae
a
(e
b
-e
a
)＜be
b
(e
b
-e
a
)，因b＞a＞0时e
b
＞e
a
，从而又可改写为等价形式ae
a
＜be
b
．把b改写为x，引入函数f(x)=xe
x
，即需证f(x)＞f(a)当x＞a＞0时成立．
因为f"(x)=(x+1)e x ＞0当x＞0时成立，从而f(x)在区间[a，+∞)(a＞0)上单调增加，故当x＞a时f(x)＞f(a)成立，即原不等式成立．
[证法二] 引入函数g(x)=xe 2x ，则原不等式可改写成
当y=g(x)在区间[a，b]上是凹弧时，显然上式成立(如图所示)．注意
因为f"(x)=(x+1)e x ＞0当x＞0时成立，从而f(x)在区间[a，+∞)(a＞0)上单调增加，故当x＞a时f(x)＞f(a)成立，即原不等式成立．
[证法二] 引入函数g(x)=xe 2x ，则原不等式可改写成
当y=g(x)在区间[a，b]上是凹弧时，显然上式成立(如图所示)．注意