解答题
设A是3阶矩阵，α1，α2，α3是3维列向量，α1≠0，满足Aα1=2α1，Aα2=α1+2α2，Aα3=α2+2α3．
问答题
证明α1，α2，α3线性元关；
【正确答案】
【答案解析】证 由题设条件，得
(A-2E)α1=0，(A-2E)α2=α1，(A-2E)α3=α2．
对任意常数k1，k2，k3，令k1α1+k2α2+k3α3=0． ①
①式两边左乘A-2E，得k2α1+k3α2=0； ②
②式两边左乘A-2E，得k3α1=0．
因α1≠0，故k3=0，代回②式，得k2=0，代回①式得k1=0．
故
(A-2E)α1=0，(A-2E)α2=α1，(A-2E)α3=α2．
对任意常数k1，k2，k3，令k1α1+k2α2+k3α3=0． ①
①式两边左乘A-2E，得k2α1+k3α2=0； ②
②式两边左乘A-2E，得k3α1=0．
因α1≠0，故k3=0，代回②式，得k2=0，代回①式得k1=0．
故
问答题
A能否相似于对角矩阵，说明理由．
【正确答案】
【答案解析】解 由上一小题知
故
因α1，α2，α3线性无关，故C=(α1，α2，α3)是可逆矩阵，则C-1AC=B，即A～B．
又B有λ1=λ2=λ3=2，是三重特征值，但
(2E-B)x=0只有一个线性无关解向量，故
由相似关系的传递性知，
故
因α1，α2，α3线性无关，故C=(α1，α2，α3)是可逆矩阵，则C-1AC=B，即A～B．
又B有λ1=λ2=λ3=2，是三重特征值，但
(2E-B)x=0只有一个线性无关解向量，故
由相似关系的传递性知，