问答题
设α
1
=(1，3，5，-1)
T
，α
2
=(2，7，a，4)
T
，α
3
=(5，17，-1，7)
T
。
(Ⅰ)若α
1
，α
2
，α
3
线性相关，求a；
(Ⅱ)当a=3时，求与α
1
，α
2
，α
3
都正交的非零向量α
4
；
(Ⅲ)设a=3，α
4
是与α
1
，α
2
，α
3
都正交的非零向量，证明α
1
，α
2
，α
3
，α
4
可表示任何一个4维向量。
【正确答案】正确答案：(Ⅰ)α
1
，α
2
，α
3
线性相关，则r(α
1
，α
2
，α
3
)＜3
得a=-3。 (Ⅱ)与α
1
，α
2
，α
3
都正交的非零项向量即齐次方程组
的非零解，解此方程组：
解得α
4
=c(19，-6，0，1)
T
，c≠0。 (Ⅲ)只用证明α
1
，α
2
，α
3
，α
4
线性相关，此时对任何4维向量α，有α
1
，α
2
，α
3
，α
4
，α线性相关，从而α可以用α
1
，α
2
，α
3
，α
4
线性表示。 方法一：由①知，a=3时，α
1
，α
2
，α
3
线性无关，只用证明α
4
不能用α
1
，α
2
，α
3
线性表示，用反证法，如果α
4
能用α
1
，α
2
，α
3
线性表示，设α
4
=c
1
α
1
+c
2
α
2
+c
3
α
3
，则(α
4
，α
4
)=(α
4
，c
1
α
1
+c
2
α
2
+c
3
α
3
)=c
1
(α
4
，α
1
)+c
2
(α
4
，α
2
)+c
3
(α
4
，α
3
)=0，得α
4
=0，与α
4
是非零向量矛盾。 方法二：计算行列式
得a=-3。 (Ⅱ)与α
1
，α
2
，α
3
都正交的非零项向量即齐次方程组
的非零解，解此方程组：
解得α
4
=c(19，-6，0，1)
T
，c≠0。 (Ⅲ)只用证明α
1
，α
2
，α
3
，α
4
线性相关，此时对任何4维向量α，有α
1
，α
2
，α
3
，α
4
，α线性相关，从而α可以用α
1
，α
2
，α
3
，α
4
线性表示。 方法一：由①知，a=3时，α
1
，α
2
，α
3
线性无关，只用证明α
4
不能用α
1
，α
2
，α
3
线性表示，用反证法，如果α
4
能用α
1
，α
2
，α
3
线性表示，设α
4
=c
1
α
1
+c
2
α
2
+c
3
α
3
，则(α
4
，α
4
)=(α
4
，c
1
α
1
+c
2
α
2
+c
3
α
3
)=c
1
(α
4
，α
1
)+c
2
(α
4
，α
2
)+c
3
(α
4
，α
3
)=0，得α
4
=0，与α
4
是非零向量矛盾。 方法二：计算行列式
【答案解析】