解答题
22.设有n元实二次型f(x1，x2，…，xn)=(x1+a1x2)2+(x2+a2x3)+…+(xn-1+an-1xn)2+(xn+anx1)2，其中ai(i=1，2，…，n)为实数．试问当a1，a2，…，an满足何种条件时，该二次型为正定二次型．
【正确答案】 由于本题中的二次型含有较多字母，求其矩阵很不方便，求其矩阵的特征值及顺序主子式就更困难了，故只好采用正定的定义求解．
根据定义，二次型f正定是指对于任何X≠0，恒有f(X)=XTAX＞0．由其逆否命题知，此条件等价于f(X)=XTAX≤0时，X=0．由题设知．f(X)＜0不可能，故等价于f(X)=XTAX=0时有X=0，即等价于方程组
只有零解．当上述方程组只有零解时，就必有当X≠0时，x1+a1x2，x2+a2x3,…恒不全为零，从而恒有XTAX＞0，则f(x)=XTAX是正定二次型．而上述方程组只有零解的充分必要条件是其系数行列式
根据定义，二次型f正定是指对于任何X≠0，恒有f(X)=XTAX＞0．由其逆否命题知，此条件等价于f(X)=XTAX≤0时，X=0．由题设知．f(X)＜0不可能，故等价于f(X)=XTAX=0时有X=0，即等价于方程组
只有零解．当上述方程组只有零解时，就必有当X≠0时，x1+a1x2，x2+a2x3,…恒不全为零，从而恒有XTAX＞0，则f(x)=XTAX是正定二次型．而上述方程组只有零解的充分必要条件是其系数行列式
【答案解析】