解答题
23.设总体X在区间(0，θ)内服从均匀分布，X1，X2，X3是来自总体的简单随机样本．证明：
【正确答案】因为总体X在区间(0，θ)内服从均匀分布，所以分布函数为
令U=
，则
FU(u)=P(U≤u)=P(max{X1，X2，X3}≤u)=P(X1≤u，X2≤U，X3≤u)
=P(X1≤u)P(X2≤u)P(X3≤u)=
FV(v)=P(V≤v)=P(min{X1，X2，X3}≤v)=1－P(min{X1，X2，X3}＞v)
=1－P(X1＞v，X2＞v，X3＞v)=1－P(X1＞v)P(X2＞v)P(X3＞v)
=1－[1－P(X1≤v)][1－P(X2≤v)][1－P(X3≤v)]
=
则U，V的密度函数分别为fU(x)=
因为
=θ．
E(4V)=4E(V)=4∫0θx×
=θ．
所以
都是参数θ的无偏估计量．
D(U)=E(U2)－[E(U)]2=
D(V)=E(V2)－[E(V)]2=
因为
更有效．
令U=
，则FU(u)=P(U≤u)=P(max{X1，X2，X3}≤u)=P(X1≤u，X2≤U，X3≤u)
=P(X1≤u)P(X2≤u)P(X3≤u)=
FV(v)=P(V≤v)=P(min{X1，X2，X3}≤v)=1－P(min{X1，X2，X3}＞v)
=1－P(X1＞v，X2＞v，X3＞v)=1－P(X1＞v)P(X2＞v)P(X3＞v)
=1－[1－P(X1≤v)][1－P(X2≤v)][1－P(X3≤v)]
=
则U，V的密度函数分别为fU(x)=
因为
=θ．E(4V)=4E(V)=4∫0θx×
=θ．所以
都是参数θ的无偏估计量．D(U)=E(U2)－[E(U)]2=
D(V)=E(V2)－[E(V)]2=
因为
更有效．【答案解析】