问答题
设二次型
【正确答案】解：(Ⅰ)二次型的矩阵为[*]，则二次型的正负惯性指数都是1，可知，r(A)=2，
[*]
所以a=-2，或a-1，又a=1时，显然r(A)=1，故只取a=-2．
(Ⅱ)此时|λE-A|=λ(λ+3)(λ-3)，所以A的特征值是3，-3，0．
当λ1=3时，解方程组(3E-A)x=0，得基础解系为α1=(1，0，1)T；
当λ2=-3时，解方程组(-3E-A)x=0，得基础解系为α2=(1，-2，-1)T；
当λ3=0时，解方程组(0E-A)x=0，得基础解系为α3=(1，1，-1)T．
将α1，α2，α3单位化得[*]
故有正交阵[*]
[*]
所以a=-2，或a-1，又a=1时，显然r(A)=1，故只取a=-2．
(Ⅱ)此时|λE-A|=λ(λ+3)(λ-3)，所以A的特征值是3，-3，0．
当λ1=3时，解方程组(3E-A)x=0，得基础解系为α1=(1，0，1)T；
当λ2=-3时，解方程组(-3E-A)x=0，得基础解系为α2=(1，-2，-1)T；
当λ3=0时，解方程组(0E-A)x=0，得基础解系为α3=(1，1，-1)T．
将α1，α2，α3单位化得[*]
故有正交阵[*]
【答案解析】[考点] 二次型的标准形．
[解析] 先根据惯性指数求得a，再求特征值及单位化的特征向量，将二次型标准化，最后借助标准形求得f的最值．