解答题
13.设f(x)在x0的邻域内四阶可导，且｜f(4)(x)｜≤M(M＞0)．证明：对此邻域内任一异于x0的点x，有｜f"(x0)－
≤
≤
【正确答案】由f(x)＝f(x0)＋f’(x0)(x－x0)＋
(x－x0)＋
(x－x0)＋
(x－x0)4，f(x’)＝f(x0)＋f’(x0)(x’－x0)＋
(x’－x0)3＋
(x’－x0)4，
两式相加得f(x)＋f(x’)－2f(x0)＝f”(x0)(x－x0)2＋
[f(4)(ξ1)＋f(4)(ξ2)](x－x0)4，
于是｜f”(x0)－
｜≤
[｜f(4)(ξ1)｜＋｜f(4)(ξ2)｜](x－x0)2，
再由｜f(4)(x)｜≤M，得｜f”(x0)－
｜≤
(x－x0)＋(x－x0)＋(x－x0)4，f(x’)＝f(x0)＋f’(x0)(x’－x0)＋(x’－x0)3＋(x’－x0)4，两式相加得f(x)＋f(x’)－2f(x0)＝f”(x0)(x－x0)2＋
[f(4)(ξ1)＋f(4)(ξ2)](x－x0)4，于是｜f”(x0)－
｜≤[｜f(4)(ξ1)｜＋｜f(4)(ξ2)｜](x－x0)2，再由｜f(4)(x)｜≤M，得｜f”(x0)－
｜≤【答案解析】