问答题
求f(x，y，z)=x+y—z
2
+5在区域Ω：x
2
+y
2
+z
2
≤2上的最大值与最小值．
【正确答案】正确答案：f(x，y，z)在有界闭区域Ω上连续，一定存在最大、最小值． 第一步，先求f(x，y，z)在Ω内的驻点． 由
=1 =>f(x，y，z)在Ω内无驻点，因此f(x，y，z)在Ω的最大、最小值都只能在Ω的边界上达到． 第二步，求f(x，y，z)在Ω的边界x
2
+y
2
+z
2
=2上的最大、最小值，即求f(x，y，z)在条件x
2
+y
2
+z
2
一2=0下的最大、最小值，令F(x，y，z，λ)=x+y—z
2
+5+λ(x
2
+y
2
+z
2
一2)，解方程组
由①，②=>x=y，由③=>z=0或λ=1．由x=y，z=0代入④=>x=y=±1，z=0．当λ=1时由①，②，得x=y=
代入④得
．因此得驻点P
1
(-1，-1，0)，P
2
(1，1，0)，
计算得知f(P
1
)=3，f(P
2
)=7，f(P
3
)=f(P
4
)=
． 因此，f(x，y，z)在Ω的最大值为7，最小值为
=1 =>f(x，y，z)在Ω内无驻点，因此f(x，y，z)在Ω的最大、最小值都只能在Ω的边界上达到． 第二步，求f(x，y，z)在Ω的边界x
2
+y
2
+z
2
=2上的最大、最小值，即求f(x，y，z)在条件x
2
+y
2
+z
2
一2=0下的最大、最小值，令F(x，y，z，λ)=x+y—z
2
+5+λ(x
2
+y
2
+z
2
一2)，解方程组
由①，②=>x=y，由③=>z=0或λ=1．由x=y，z=0代入④=>x=y=±1，z=0．当λ=1时由①，②，得x=y=
代入④得
．因此得驻点P
1
(-1，-1，0)，P
2
(1，1，0)，
计算得知f(P
1
)=3，f(P
2
)=7，f(P
3
)=f(P
4
)=
． 因此，f(x，y，z)在Ω的最大值为7，最小值为
【答案解析】