【正确答案】
【答案解析】解 由f"
xy
(x，y)=2(y+1)e
x
，得
f"
x
(x，y)=(y+1)
2
e
x
+φ(x)．
因为f"
x
(x，0)=(x+1)e
x
，所以
e
x
+φ(x)=(x+1)e
x
，
得φ(x)=xe
x
，从而
f"
x
(x，y)=(y+1)
2
e
x
+xe
x
．
对x积分得 f(x，y)=(y+1)
2
e
x
+(x-1)e
2
+ψ(y)，因为f(x，y)=y
2
+2y，所以ψ(y)=0，从而
f(x，y)=(x+y
2
+2y)e
x
．
于是f"
y
(x，y)=(2y+2)e
x
，f"
xx
(x，y)=(x+y
2
+2y+2)e
x
，f"
yy
(x，y)=2e
x
．
令f"
x
(x，y)=0，f"
y
(x，y)=0，得驻点(0，-1)，所以
A=f"
xx
(0，-1)=1，B=f"
xy
(0，-1)=0，C=f"
yy
(0，-1)=2．
由于B
2
-AC＜0，A＞0，所以极小值为f(0，-1)=-1．