问答题
(Ⅰ)设f(x)，g(x)在点x=x
0
处可导且f(x
0
)=g(x
0
)=0，f′(x
0
)g′(x
0
)＜0，求证：x=x
0
是f(x)g(x)的极大值点．
(Ⅱ)求函数F(x)=
【正确答案】正确答案：(Ⅰ)由于
=f′(x
0
)g(x
0
)+f(x
0
)g′(x
0
)=0，因此x=x
0
是f(x)g(x)的驻点，进一步证明是它的极大值点． 由条件f′(x
0
)g′(x
0
)＜0
f′(x
0
)＜0，g′(x
0
)＞0(或f′(x
0
)＞0，g′(x
0
)＜0)，由
g′(x
0
)=
及极限的保号性质
δ＞0，当x∈(x
0
—δ，x
0
+δ，x≠x
0
时
x∈(x
0
，x
0
+δ)时 f(x)＜0(＞0)， g(x)＞0(＜0)； x∈(x
0
—δ，x
0
)时 f(x)＞0(＜0)， g(x)＜0(＞0) x∈(x
0
—δ，x
0
+δ)，x≠x
0
时 f(x)g(x)＜0=f(x
0
)g(x
0
) x=x
0
是f(x)g(x)的极大值点． (Ⅱ)由题设知F(x)是(—∞，+∞)上连续的偶函数，且由
F(x)在(—∞，0]上
，在[0，+∞)上
． 由于F(0)=0．又
因此，函数F(x)的值域区间是[0，
=f′(x
0
)g(x
0
)+f(x
0
)g′(x
0
)=0，因此x=x
0
是f(x)g(x)的驻点，进一步证明是它的极大值点． 由条件f′(x
0
)g′(x
0
)＜0
f′(x
0
)＜0，g′(x
0
)＞0(或f′(x
0
)＞0，g′(x
0
)＜0)，由
g′(x
0
)=
及极限的保号性质
δ＞0，当x∈(x
0
—δ，x
0
+δ，x≠x
0
时
x∈(x
0
，x
0
+δ)时 f(x)＜0(＞0)， g(x)＞0(＜0)； x∈(x
0
—δ，x
0
)时 f(x)＞0(＜0)， g(x)＜0(＞0) x∈(x
0
—δ，x
0
+δ)，x≠x
0
时 f(x)g(x)＜0=f(x
0
)g(x
0
) x=x
0
是f(x)g(x)的极大值点． (Ⅱ)由题设知F(x)是(—∞，+∞)上连续的偶函数，且由
F(x)在(—∞，0]上
，在[0，+∞)上
． 由于F(0)=0．又
因此，函数F(x)的值域区间是[0，
【答案解析】