解答题
16.[2005年] 确定常数a，使向量组α1=[1，1，a]T，α2=[1，a，1]T，α3=[a，1，1]T可由向量组β1=[1，1，a]T，β2=[一2，a，4]T，β3=[一2，a，a]T线性表示，但向量组β1，β2，β3不能由向量组α1，α2，α3线性表示．
【正确答案】由题目要求，需求满足两个条件的常数a．条件之一是方程组x1β1+x2β2+x3β3=αi有解，即αi可由β1，β2，β3线性表示．条件之二是方程组x1α1+x2α2+x3α3=βj无解，即βi不能由α1，α2，α3线性表示．由这两个条件来确定a的取值，也可从比较两向量组(或矩阵)秩的大小人手求出a．
解一 因α1，α2，α3均可由向量组β1，β2，β3线性表示，故三个方程组x1β1+x2β2+x3β3=αi(i=1，2，3)均有解．对增广矩阵[β1，β2，β3:α1，α2，α3]作初等行变换，得到
[β1，β2，β3:α1，α2，α3]
可见，当a≠4且a≠一2时，秩(β1，β2，β3)=3，α1，α2，α3均可由β1，β2，β3线性表示．
向量组β1，β2，β3不能由向量组α1，α2，α3线性表示，即方程组x1α1+x2α2+x3α3=βj(j=1，2，3)无解．对增广矩阵[α1，α2，α3:β1，β2，β3]进行初等行变换，得到
[α1，α2，α3:β1，β2，β3]
解一 因α1，α2，α3均可由向量组β1，β2，β3线性表示，故三个方程组x1β1+x2β2+x3β3=αi(i=1，2，3)均有解．对增广矩阵[β1，β2，β3:α1，α2，α3]作初等行变换，得到
[β1，β2，β3:α1，α2，α3]
可见，当a≠4且a≠一2时，秩(β1，β2，β3)=3，α1，α2，α3均可由β1，β2，β3线性表示．
向量组β1，β2，β3不能由向量组α1，α2，α3线性表示，即方程组x1α1+x2α2+x3α3=βj(j=1，2，3)无解．对增广矩阵[α1，α2，α3:β1，β2，β3]进行初等行变换，得到
[α1，α2，α3:β1，β2，β3]
【答案解析】