解答题
7.设3阶实对称矩阵A的特征值λ1=1，λ2=2，λ3=-1，且α1=(1，a+1，2)T，α2=(a-1，-a，1)T分别是λ1，λ2对应的特征向量．又A的伴随矩阵A*有一个特征值为λ0，属于λ0的特征向量为α0=(2，-5a，2a+1)T．试求a、λ0的值，并求矩阵A．
【正确答案】由于｜A｜=λ1λ2λ3=-2，故A可逆．
由于α0是A*的属于λ0的特征向量．所以A*α0=λ0α0．于是AA*α0=λ0Aα0，即｜A｜α0=λ0Aα0，亦即-2α0=λ0Aα0．故
．从而-2/λ0是A的特征值，α0是A的关于-2/λ0对应的特征向量．
又由于α1，α2为实对称矩阵A的不同特征值的特征向量，故α1，α2正交，即αT1α2=0，得a=±1．
无论a=1还是a=-1，则有α0与α1，α2中任何一个都线性无关，所以α0应是矩阵A的属于λ3的特征向量，
于是有λ3=-2/λ0从而λ0=2．且α0与α1正交，即αT0α1=52+a-4=0，则a=4/5或a=-1，于是a=-1，λ0=2．
令
，则P可逆，且
所以
由于α0是A*的属于λ0的特征向量．所以A*α0=λ0α0．于是AA*α0=λ0Aα0，即｜A｜α0=λ0Aα0，亦即-2α0=λ0Aα0．故
．从而-2/λ0是A的特征值，α0是A的关于-2/λ0对应的特征向量．又由于α1，α2为实对称矩阵A的不同特征值的特征向量，故α1，α2正交，即αT1α2=0，得a=±1．
无论a=1还是a=-1，则有α0与α1，α2中任何一个都线性无关，所以α0应是矩阵A的属于λ3的特征向量，
于是有λ3=-2/λ0从而λ0=2．且α0与α1正交，即αT0α1=52+a-4=0，则a=4/5或a=-1，于是a=-1，λ0=2．
令
，则P可逆，且所以
【答案解析】本题考查实对称矩阵相似对角矩阵的逆问题．运用实对称矩阵不同的特征值所对应的特征向量必正交的性质来确定a与λ0．