解答题
设n阶矩阵A满足A2+2A-3E=0．
(Ⅰ)证明矩阵A，A+2E，A+4E可逆，并求出它们的逆矩阵；
(Ⅱ)当A≠E时，判断矩阵A+3E是否可逆，并说明理由．
(Ⅰ)证明矩阵A，A+2E，A+4E可逆，并求出它们的逆矩阵；
(Ⅱ)当A≠E时，判断矩阵A+3E是否可逆，并说明理由．
【正确答案】
【答案解析】[解]
(Ⅰ)由
所以，矩阵A可逆，且
由于
所以矩阵A+2E可逆，且
由于A2+2A-3E=O，所以A2+2A-8E=-5E．
而A2+2A-8E=(A+4E)(A-2E)，即(A+4E)(A-2E)=-5E．所以，矩阵A+4E可逆，且
(Ⅰ)由
所以，矩阵A可逆，且
由于
所以矩阵A+2E可逆，且由于A2+2A-3E=O，所以A2+2A-8E=-5E．
而A2+2A-8E=(A+4E)(A-2E)，即(A+4E)(A-2E)=-5E．所以，矩阵A+4E可逆，且