解答题
26.设f(x)为连续函数，
(1)证明：∫0πxf(sinx)dx=
(2)证明：∫02πf(|sinx|)dx=
(3)求
(1)证明：∫0πxf(sinx)dx=
(2)证明：∫02πf(|sinx|)dx=
(3)求
【正确答案】(1)令I=∫0πxf(sinx)dx，则
I=∫0πxf(sinx)dx
∫π0(π-t)f(sint)(一dt)=∫0π(π—t)f(sint)dt
=∫0π(π—x)f(sinx)dx=π∫0πf(sinx)dx一∫0πxf(sinx)dx
=π∫0πf(sinx)dx一I，
则I=∫0πxf(sinx)dx=
(2)∫02πf(|sinx|)dx=∫-ππf(|sinx|)dx=2∫0πf(|sinx|)dx
=2∫0πf(sinx)dx=
(3)
I=∫0πxf(sinx)dx
∫π0(π-t)f(sint)(一dt)=∫0π(π—t)f(sint)dt=∫0π(π—x)f(sinx)dx=π∫0πf(sinx)dx一∫0πxf(sinx)dx
=π∫0πf(sinx)dx一I，
则I=∫0πxf(sinx)dx=
(2)∫02πf(|sinx|)dx=∫-ππf(|sinx|)dx=2∫0πf(|sinx|)dx
=2∫0πf(sinx)dx=
(3)
【答案解析】