问答题
设A为三阶矩阵，α1，α2，α3为对应特征值λ1，λ2，λ3的特征向量，令β=α1+α2+α3．若α1，α2，α3为Bx=0基础解系，试求β，Aβ，A2β也为Bx=0的基础解系的条件．
【正确答案】
【答案解析】[解析] 若α1，α2，α3为Bx=0基础解系，则Bα1=0，Bα2=0，Bα3=0．
则Bβ=B(α1+α2+α3)=1+2+3=0，
BAβ=B[A(α1+α1+α1)]=λ1Bα1+λ2Bα2+λ3Bα3=0，
BA2β=B[A2(α1+α2+α3)]=
所以β，Aβ，A2β也为Bx=0的解．
则β，Aβ，A2β也为Bx=0的基础解系的条件为β，Aβ，A2β线性无关．
令k1β+k2Aβ+k3A2β=0，则
k1(α1+α2+α3)+K2(λ1α1+λ2α2+λ3α3)+
=0
整理后得
因为α1，α2，α3为基础解系，从而线性无关，所以
故上述方程组仅有零解的充要条件为系数矩阵行列式非零，即
则Bβ=B(α1+α2+α3)=1+2+3=0，
BAβ=B[A(α1+α1+α1)]=λ1Bα1+λ2Bα2+λ3Bα3=0，
BA2β=B[A2(α1+α2+α3)]=
所以β，Aβ，A2β也为Bx=0的解．
则β，Aβ，A2β也为Bx=0的基础解系的条件为β，Aβ，A2β线性无关．
令k1β+k2Aβ+k3A2β=0，则
k1(α1+α2+α3)+K2(λ1α1+λ2α2+λ3α3)+
=0整理后得
因为α1，α2，α3为基础解系，从而线性无关，所以
故上述方程组仅有零解的充要条件为系数矩阵行列式非零，即