解答题
(Ⅰ)证明罗尔定理：若函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)，则存在ξ∈(a，b)，使得f'(ξ)=0；
(Ⅱ)设函数f(x)在(a，b)内二阶可导，f(a)=f(b)=0，g(x)在[a，b]上连续，且在[a，b]上满足
f"(x)+g(x)f'(x)-f(x)=0．
证明：对于[a，b]上的任意x，有f(x)=0．
【正确答案】
【答案解析】[证] (Ⅰ)由最值定理可知，f(x)在[a，b]上有最大值M和最小值m．
若M=m，则f(x)=M=m，故对于任意x∈(a，b)，有f'(x)=0．
若M≠m，则M和m中至少有一个在(a，b)内的点ξ处取到．根据费马引理，f'(ξ)=0．
(Ⅱ)采用反证法．
假设在区间[a，b]上，f(x)不恒为0，则由f(a)=f(b)=0可知，f(x)在[a，b]上存在正的最大值或存在负的最小值．
若f(x)在[a，b]上存在正的最大值，则设f(x)在x=x0处取得最大值f(x0)，即有
f(x0)＞0， f'(x0)=0， f"(x0)≤0．
把x=x0代入f"(x)+g(x)f'(x)-f(x)，得
f"(x0)+g(x0)f'(x0)-f(x0)=f"(x0)-f(x0)＜0，
与已知矛盾，故原假设不成立．
同理，若f(x)在[a，b]上存在负的最小值，原假设亦不成立．
综上所述，对于[a，b]上的任意x，有f(x)=0．