问答题
假设函数f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内二阶可导，过点A(0，f(0))与B(1，f(1))的直线与曲线y=f(x)相交于点C(c，f(c))，其中0＜c＜1．
证明：在(0，1)内至少存在一点ξ，使f"(ξ)=0．
证明：在(0，1)内至少存在一点ξ，使f"(ξ)=0．
【正确答案】[详解1] 因为f(x)在[0，c]上满足拉格朗日中值定理的条件，故存在ξ1∈(0，c)，使
由于点C在弦AB上，故有
从而f'(ξ1)=f(1)-f(0)．
同理可证，存在ξ2∈(c，1)，使
f'(ξ2)=f(1)-f(0)．
由f'(ξ1)=f'(ξ2)，知在[ξ1，ξ2]上，f'(x)满足罗尔定理的条件，
所以存在
，使
f'(ξ)=0．
[详解2] 点A与点B连线的方程为
y=[f(1)-f(0)]x+f(0)，
令F(x)=f(x)-[f(1)-f(0)]x-f(0)，
则F(x)在[0，c]与[c，1]上满足罗尔定理的条件(理由同详解1)．于是，
至少存在两点ξ1∈[0，c]和ξ2∈[c，1]，使
F'(ξ1)=0，F'(ξ2)=0，
于是F'(x)在[ξ1，ξ2]上满足罗尔定理的条件，故至少存在一点
由于点C在弦AB上，故有
从而f'(ξ1)=f(1)-f(0)．
同理可证，存在ξ2∈(c，1)，使
f'(ξ2)=f(1)-f(0)．
由f'(ξ1)=f'(ξ2)，知在[ξ1，ξ2]上，f'(x)满足罗尔定理的条件，
所以存在
，使f'(ξ)=0．
[详解2] 点A与点B连线的方程为
y=[f(1)-f(0)]x+f(0)，
令F(x)=f(x)-[f(1)-f(0)]x-f(0)，
则F(x)在[0，c]与[c，1]上满足罗尔定理的条件(理由同详解1)．于是，
至少存在两点ξ1∈[0，c]和ξ2∈[c，1]，使
F'(ξ1)=0，F'(ξ2)=0，
于是F'(x)在[ξ1，ξ2]上满足罗尔定理的条件，故至少存在一点
【答案解析】[考点提示] 要证在(0，1)内至少存在一点ξ，使f"(ξ)=0．目标应是证明函数f'(x)在(0，1)或(0，1)内的某一开区间上满足罗尔定理的条件，然后利用罗尔定理即可．达到这一目标的途径至少有两种：一是对f(x)在[0，c]和[c，1]上分别应用拉格朗日中值定理，在(0，c)和(c，1)上分别找到点ξ1，ξ2使f'(ξ1)=f'(ξ2)，再在闭区间[ξ1，ξ2]上运用罗尔定理．二是构造辅助函数F(x)=f(x)-[f(1)-f(0)]x-f(0)，它是函数f(x)减去过点A和B的一次函数，对F(x)两次运用罗尔定理．
[评注] 详解2中的辅助函数表示曲线y=f(x)上的点与线段AB上相应点的纵坐标之差，显然这个差在点A，B，C均为0，即F(0)=F(c)=F(1)，从而可分别在[0，c]与[c，1]上应用罗尔定理．
[评注] 详解2中的辅助函数表示曲线y=f(x)上的点与线段AB上相应点的纵坐标之差，显然这个差在点A，B，C均为0，即F(0)=F(c)=F(1)，从而可分别在[0，c]与[c，1]上应用罗尔定理．