问答题
在一个围棋擂台赛中，甲、乙两位选手轮流对擂主丙进行攻擂，每人一局甲先开始，直到将擂主丙攻下为止，规定只要丙输一局则为守擂失败，如果甲、乙对丙的胜率分别为p
1
与p
2
(0＜p
1
，p
2
＜1)．求：
问答题
甲攻擂次数X
1
的概率分布；
【正确答案】
【答案解析】解：由于每次对局的胜率都不受其他局胜、负的影响，故这是一个独立试验序列问题．
事件“X 1 =n”表示“甲与丙对阵n局”即“甲、乙各自与丙在前n-1次对局中均失败，在第n次对局中甲胜丙”或“甲、乙各自与丙在前n-1次对局中均失败，在第n次甲、丙对局中甲失败，但在乙、丙第n次对局中乙胜丙”，则
P{X 1 =n}=(q 1 q 2 ) n-1 (p 1 +q 1 p 2 )，n=1，2，…．
其中q i =1-p i ，i=1，2．
事件“X 1 =n”表示“甲与丙对阵n局”即“甲、乙各自与丙在前n-1次对局中均失败，在第n次对局中甲胜丙”或“甲、乙各自与丙在前n-1次对局中均失败，在第n次甲、丙对局中甲失败，但在乙、丙第n次对局中乙胜丙”，则
P{X 1 =n}=(q 1 q 2 ) n-1 (p 1 +q 1 p 2 )，n=1，2，…．
其中q i =1-p i ，i=1，2．
问答题
乙攻擂次数X
2
的概率分布；
【正确答案】
【答案解析】解：“X
2
=0”表示甲与丙第一次对局攻擂成功，乙未上场．P{X
2
=0}=p
1
；“X
2
=n”(n≥1)表示“甲、乙与丙各对阵n-1次均失败，甲、丙第n次对阵中甲又失败，但乙、丙第n次对阵中乙胜丙”或者“甲、乙与丙各对阵n次均失败，甲在第n+1次与丙再对阵时胜丙”，则
P{X 2 =n}=(q 1 q 2 ) n-1 (q 1 p 2 +q 1 q 2 p 1 )=q 1 (p 2 +q 2 p 1 )(q 1 q 2 ) n-1 ，n=1，2，…．
P{X 2 =n}=(q 1 q 2 ) n-1 (q 1 p 2 +q 1 q 2 p 1 )=q 1 (p 2 +q 2 p 1 )(q 1 q 2 ) n-1 ，n=1，2，…．
问答题
擂主丙对甲、乙二人守擂总次数X
3
的概率分布．
【正确答案】
【答案解析】解：显然若丙的守擂次数为奇数，则表示甲攻擂成功，否则为乙攻擂成功．
“X 3 =2n-1”表示“丙在前2n-2次守擂均成功，第2n-1次守擂失败”，即“甲、乙先与丙各对局n-1次均失败，而在甲与丙的第n次对局中甲胜丙”，因此有
P{X 3 =2n-1}=(q 1 q 2 ) n-1 p 1 ，n=1，2，…．
类似分析可知P{X 3 =2n}=(q 1 q 2 ) n-1 q 1 p 2 ，n=1，2，…．
“X 3 =2n-1”表示“丙在前2n-2次守擂均成功，第2n-1次守擂失败”，即“甲、乙先与丙各对局n-1次均失败，而在甲与丙的第n次对局中甲胜丙”，因此有
P{X 3 =2n-1}=(q 1 q 2 ) n-1 p 1 ，n=1，2，…．
类似分析可知P{X 3 =2n}=(q 1 q 2 ) n-1 q 1 p 2 ，n=1，2，…．
问答题
假设乙对丙的胜率p
2
是1/4，若使甲、乙二人攻擂成功概率相等，求甲对丙的胜率．
【正确答案】
【答案解析】解：设事件A表示“甲攻擂成功”，则
若要甲、乙二人攻擂胜率相同，则P(A)=1/2，即
将p 2 =1/4代入上式，得p 1 =1/5．
或
．
甲、乙胜率相同的充分必要条件是P(A)=
，即
若要甲、乙二人攻擂胜率相同，则P(A)=1/2，即
将p 2 =1/4代入上式，得p 1 =1/5．
或
．
甲、乙胜率相同的充分必要条件是P(A)=
，即