解答题
设f(x)在[0，2]上三阶连续可导，且f(0)=1，f'(1)=0，
【正确答案】
【答案解析】证明 方法一 先作一个函数P(x)=ax3+bx2+cx+d，使得
P(0)=f(0)=1，P'(1)=f'(1)=0，P(2)=f(2)=
，P(1)=f(1)．
则
令g(x)=f(x)-P(x)，则g(x)在[0，2]上三阶可导，且g(0)=g(1)=g(2)=0，所以存在c1∈(0，1)，c2∈(1，2)．使得g'(c1)=g'(1)=g'(c2)=0，又存在d1∈(c1，1)，d2∈(1，c2)使得g"(d1)=g"(d2)=0，再由罗尔定理，存在ξ∈(d1，d2)
(0，2)，使得g'"(ξ)=0，而g'"(x)=f'"(x)-2，所以f'"(ξ)=2．
方法二 由泰勒公式，得
两式相减，得
P(0)=f(0)=1，P'(1)=f'(1)=0，P(2)=f(2)=
，P(1)=f(1)．则
令g(x)=f(x)-P(x)，则g(x)在[0，2]上三阶可导，且g(0)=g(1)=g(2)=0，所以存在c1∈(0，1)，c2∈(1，2)．使得g'(c1)=g'(1)=g'(c2)=0，又存在d1∈(c1，1)，d2∈(1，c2)使得g"(d1)=g"(d2)=0，再由罗尔定理，存在ξ∈(d1，d2)
(0，2)，使得g'"(ξ)=0，而g'"(x)=f'"(x)-2，所以f'"(ξ)=2．方法二 由泰勒公式，得
两式相减，得